1 . 已知为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)圆的切线与双曲线相交于两点．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）求面积的最小值．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为．已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率．

(1)求双曲线的方程；
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
（I）若，求直线的斜率；
（II）求证：是定值．

3 . 已知双曲线的左､右顶点分别为，点在上，且.
(1)求的方程；
(2)直线与交于两点，记直线的斜率分别为，若，求的值.

4 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．

5 . 已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线上任意一点，且过点的直线与双曲线的渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

6 . 已知双曲线，渐近线方程为，点在上；
   
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.

7 . 已知双曲线的左右焦点为，，经过的圆（为坐标原点）交双曲线的左支于，，且为正三角形.
(1)求双曲线的标准方程及渐近线方程；
(2)若点为双曲线右支上一点，射线，分别交双曲线于点，，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

8 . 已知、分别为双曲线的上、下焦点，其中坐标为点是双曲线上的一个点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线与上支交于不同的A、B两点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某条定直线上.

9 . 已知双曲线的左、右焦点分别为、，且双曲线经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作动直线，与双曲线的左、右支分别交于点、，在线段上取异于点、的点，满足，求证：点恒在一条定直线上．

10 . 已知双曲线C：的右焦点为，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设A、B分别为双曲线C的左、右顶点，若过点F的直线l交双曲线C的右支于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为、，是否存在实数λ使得？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．