1 . 已知双曲线（）的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)点在双曲线上，直线与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值．

2 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．

3 . 已知是双曲线的左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值.

4 . 已知双曲线过点，且右焦点为.
(1)求双曲线的方程：
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，交轴于点，若，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求三角形的面积的取值范围.

5 . 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点、在双曲线的左、右两支上，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，的面积为.
①是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
②已知圆的面积为，求.

6 . 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三个点中有且仅有两点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线与直线的斜率互为相反数，证明：为定值．