1 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

2 . 已知双曲线经过点，一条渐近线方程为，直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的方程.
(2)若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值.

4 . 已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设，M为C上一点，N为圆上一点（ 均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

5 . 已知点，在双曲线E：上．
(1)求双曲线E的方程；
(2)直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当时，证明：直线l过定点．

6 . 已知双曲线C： (，)的离心率为．
（1）若双曲线C的焦距长为，求双曲线C的方程：
（2）若点为双曲线C上一点，求双曲线C的方程．

7 . 中心在原点的双曲线的右焦点为,渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于两点，试探究，是否存在以线段为直径的圆过原点．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.