1 . 已知双曲线中，焦距为，且双曲线过点．斜率不为零的直线与双曲线交于两点，且以为直径的圆过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在直线，使得点到直线的距离最大？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

2 . 已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，点P与C的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点的直线与双曲线C交于E，F两点(异于点P)，过点F作平行于x轴的直线，直线PE与交于点D，且求直线AB的斜率．

3 . 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)点在直线上，、分别为双曲线的左、右顶点，直线、分别与双曲线交于、两点．求证：直线过定点．

4 . 已知双曲线的焦距为4，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且不过的直线与交于点，若为直线斜率的等差中项，求到直线的距离的取值范围．

5 . 已知点在双曲线上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．

6 . 已知双曲线，（，）的实轴长为2，且过点，其中为双曲线的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于点，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，求的最小值．

7 . 已知双曲线的离心率是，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设，M为C上一点，N为圆上一点（ 均不在x轴上）．直线的斜率分别记为，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

8 . 过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．

9 . 若点在以，为左，右焦点的双曲线：上，双曲线C的虚轴长为2．

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)如图，点P在双曲线C的左支上，若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，其中A在第一象限，且l与的平分线m垂直，垂足为D，线段AP中点为O，求的最大值．

10 . 已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．