1 . 已知A，B分别为双曲线的左，右顶点，四点中恰有三点在双曲线E上．若P为直线上的动点，与E的另一交点为与E的另一交点为D．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)过点B作于点Q，是否存在定点G，使得为定值．

2 . 求适合下列条件的曲线的标准方程：
(1)过点和点的椭圆；
(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点的双曲线．

3 . 已知双曲线E：的左焦点为是双曲线E上的一点．
(1)求E的方程；
(2)已知过坐标原点且斜率为的直线交E于A，B两点，作直线FA交E于另一点C，作直线FB交E于另一点D，若直线CD过点，求直线的斜率.

4 . 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在一定点，使得直线与的斜率之和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点在双曲线上；②点在双曲线上，，且；③双曲线的一条渐近线与直线垂直.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的斜率.

6 . 已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0.求的斜率；

7 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

8 . 已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为．
(1)求双曲线的方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．

9 . 已知双曲线中，焦距为，且双曲线过点．斜率不为零的直线与双曲线交于两点，且以为直径的圆过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在直线，使得点到直线的距离最大？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．