1 . 已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程．
(3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围．

2 . 已知双曲线的右焦点为，其渐近线方程为，
(1)求双曲线C的方程
(2)已知斜率为的直线经过点与曲线双曲线交于两点，为坐标原点，若，求的值.

3 . 如图，正六边形ABCDEF的边长为4．已知双曲线的焦点分别为A，D，两条渐近线分别为直线BE，CF．

   

(1)建立适当的平面直角坐标系，求的方程；
(2)过点A的直线l与交于P，Q两点，，若点M满足，证明：点M在一条定直线上．