1 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

2 . 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．
(1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
(2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．

3 . 已知椭圆，其短轴长为，离心率为，双曲线的渐近线为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于、不同两点，设直线和的斜率为、，若，试判断该动直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

4 . 如图，已知、为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且．求：

（1）双曲线的离心率：
（2）双曲线的渐近线方程．

5 . 已知椭圆的两个焦点分别为点是椭圆上任意一点，且的最大值为4，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆方程；
（2）设点，过点作直线与圆相切且分别交椭圆于,求直线的斜率．

6 . 已知双曲线与椭圆的焦点相同,且它们的离心率之和等于
（1）求双曲线的离心率的值
（2）求双曲线的标准方程．

7 . 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.