1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为，的面积为4．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等．

2 . 已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．

3 . 已知抛物线的焦点坐标为．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知定点，、是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点．

4 . 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．

5 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；
(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.

6 . 已知动点到点的距离比它到直线的距离大．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)，是轨迹上异于原点的两点，当时，求证：直线恒过定点．

7 . 已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

8 . 已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，直线经过抛物线的焦点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足，证明：直线过轴上一定点，并求出点的坐标.

9 . 已知抛物线的准线方程是.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.