1 . 已知动点在上，过作轴的垂线，垂足为，若为中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过作直线交的轨迹于、两点，并且交轴于点．若，，求证：为定值．

2 . 椭圆的离心率为分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，已知面积为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于P，Q两点，过点向轴引垂线交MN于点B，点C为点P关于点B的对称点，求证：C，Q，M三点共线．

3 . 已知椭圆C：的右顶点到左焦点的距离与左焦点到直线的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线过点，且与坐标轴不垂直，与椭圆相交于P，H两点，线段PH的垂直平分线与轴交于点．
①当时，求直线的倾斜角的正弦值；
②求证：．

4 . 椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.

5 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

6 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于两点，若椭圆经过两点，且直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点是直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为.
①求证直线恒过定点，并求出此定点；
②求面积的最小值.

7 . 已知椭圆的焦距为，点在椭圆外，O为坐标原点，OP与椭圆交于点Q，过Q作椭圆的切线l，切线斜率为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设斜率为k的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段AB的中点，若E上存在点C，使得，求证：的面积为定值．

8 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.

9 . 已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6．
(1)求C的标准方程；
(2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上.

10 . 已知椭圆经过点和．
(1)求的方程；
(2)若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标．