1 . 如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左焦点，若，求直线的方程．

3 . 已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面积为，则四边形的周长是________．

4 . 已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于四点，如图，求四边形的面积的取值范围.

5 . 已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积.

6 . 已知椭圆的短轴长与焦距均为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．

8 . 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明：两点的横坐标之和为常数.

9 . 已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过点且斜率为k的直线与椭圆交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当时,试判断以AB为直径的圆是否经过点,并说明理由.

10 . 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若，求k的取值范围．