1 . 已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.

2 . 如图，已知椭圆的离心率为，F为椭圆C的右焦点，，.

(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M，直线OM与直线交于点D，过O且平行于AP的直线与直线交于点E.求证：.

3 . 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.

4 . 已知椭圆，点
（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；
（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.

5 . 如图，已知椭圆：的离心率为，为椭圆的右焦点，，.

(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，为椭圆上一点，的中点为，直线与直线交于点，过作，交直线于点，求证：.

6 . 设分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆的左顶点,点为椭圆的上顶点,且.
（Ⅰ）若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;
（Ⅱ）设为椭圆上一点,且在第一象限内,直线与轴相交于点,若以为直径的圆经过点,证明:.

7 . 设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.
（1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；
（2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.