1 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆方程；
(2)设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

3 . 已知椭圆的焦点坐标为，，且经过点.
(1)求的方程;
(2)设直线不经过点且与相交于两点，若以线段为直径的圆经过点，证明:过定点.

4 . 设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
已知直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为，设，证明：直线过定点，并求面积的最大值．

5 . 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，短轴两个端点为，，且四边形是边长为的正方形．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知圆的方程是，过圆上任一点作椭圆的两条切线，，求证：.

6 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，分别是椭圆的上、下顶点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于相异两点，且满足直线的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求定点的坐标.

7 . 在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.
（1）已知动点为圆：外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；
（2）若动点为椭圆：外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，猜想动点的轨迹是什么，请给出证明并求出动点的轨迹方程.

8 . 已知双曲线的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
（1）设点的横坐标分别为，证明：；
（2）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的最大值．