1 . 已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．

2 . 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段为直径的圆经过点，试问是否存在过点的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，下顶点为P，过点的动直线l交椭圆C于A，B两点.

（1）当直线l平行于x轴时，P，F，A三点共线，且，求椭圆C的方程；
（2）当椭圆C的离心率为何值时，对任意的动直线l，总有？

4 . 已知椭圆的焦距为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆x²+y²＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k₁，k₂．试判断k₁∙k₂是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．

5 . 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．

6 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为椭圆的左、右顶点，过的右焦点作直线交椭圆于两点，分别记，的面积为，求的最大值．

7 . 已知以椭圆的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，切点分别为，直线与轴交于点，过点作直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为，求面积的最大值.

8 . 已知椭圆的左焦点为，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，则的长度为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.