1 . 已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

2 . 已知两动直线，分别过椭圆的左焦点和中心，当过椭圆上顶点时，直线的距离为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)设与椭圆C交于A，B两点，点A关于的对称点为，若经过点A，，B的圆的圆心为点M，求点M横坐标的取值范围．

3 . 已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线交曲线于，两点．
（1）求曲线与曲线的直角坐标方程；
（2）试判断曲线与曲线公共点的个数．

4 . 设以的边为长轴且过点的椭圆的方程为椭圆的离心率，面积的最大值为，和所在的直线分别与直线相交于点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设与的外接圆的面积分别为，，求的最小值.

5 . 在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，，的中点分别为，，的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的重心为，若，求直线的方程．

6 . 已知椭圆的焦距为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆x²+y²＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k₁，k₂．试判断k₁∙k₂是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．

7 . 设椭圆的方程为，斜率为的动直线交椭圆于、两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆.
（1）求圆心的轨迹方程，并描述轨迹的图形；
（2）若圆经过原点，求直线的方程；
（3）证明：圆内含或内切于圆.

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦点为的抛物线的准线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点、到直线的距离之积为，求证：直线与椭圆相切．

9 . 已知F₁，F₂分别为椭圆C：的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F₁的最大距离等于4，离心率等于，过左焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，圆E内切于三角形F₂MN；
（1）求椭圆的标准方程
（2）求圆E半径的最大值

10 . 已知椭圆经过点，的四个顶点围成的四边形的面积为.
（1）求的方程；
（2）过的左焦点作直线与交于、两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）与直线相交于点，是否存在直线使得为等腰直角三角形，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.