1 . 已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，直线与椭圆C交于M，N两点，射线与椭圆C交于点P，设直线，的斜率分别为，，则__________．

2 . 已知椭圆C：的左顶点为A，椭圆C的离心率为且与直线相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于M，N两点（异于点A），且．则直线l是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由．

3 . 已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．
(1)求实数和的值；
(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．

4 . 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．

5 . 已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，焦距为2.

   

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点两点都在轴上方，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.

6 . 已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.

7 . 已知椭圆过点，且椭圆的离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段的中点，再过作直线，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

8 . 已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过P₂点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．
(3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．

   

9 . 设椭圆C：（），定义椭圆的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆的短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．
(1)求椭圆的方程和“相关圆”的方程：
(2)过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线，与椭圆交于两点，为坐标原点．证明：为定值．

10 . 已知椭C：，为其左右焦点，离心率为，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.