1 . 已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为M，N，点是E上一点，且直线PM，PN的斜率之积为．
(1)求的值；
(2)过F且斜率为1的直线l交E于A，B两点，O为坐标原点，C为E上一点，满足，的面积为，求E的方程．

4 . 已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线交双曲线于，两点（不与点重合），求证：；
(3)若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.

5 . 已知抛物线与双曲线相交于两点，是的右焦点，直线分别交于两点（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)求的取值范围；
(2)记的面积为，的面积为，当时，求的值.

7 . 已知双曲线的离心率为，其顶点到双曲线C的一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程：
(2)设，，D为AB的中点，作AB的平行线l交双曲线C于不同两点P，Q，直线和分别与双曲线C交于M，N两点，求证：M，N，D三点共线．

8 . 已知，动点满足与的斜率之积为定值.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.

10 . 已知圆F：，点，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点，动圆N：，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与交于点Q，且时，求直线AB的方程．