1 . 已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.

2 . 已知点，，动点满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)直线与点的轨迹交于，两点，若弦的中点坐标为，求直线的方程.

3 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k₁、k₂，求k₁·k₂的值；
(2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．

4 . 已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点F₁，F₂为曲线C₁所在圆锥曲线的焦点，点F₃，F₄为曲线C₂所在圆锥曲线的焦点，F₂（2，0），F₄（6，0）.

(1)求曲线的方程；
(2)如图，作直线l平行于曲线C₂的渐近线，交曲线C₁于点A，B，求证：弦AB的中点M必在曲线C₂的另一条渐近线上.

5 . 双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

6 . 过双曲线16x² -9y² = 144右焦点F作倾斜角为45°的直线交双曲线于A、B两点，求∶
（1）双曲线的两条渐近线方程；
（2）线段AB的中点M到焦点F的距离.

7 . 已知双曲线：的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过点的直线与交于，两点，点能否为线段的中点？并说明理由．

8 . 已知点、，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点（0，1）且与双曲线交于、两点，若、中点的横坐标为1，求直线的方程；
（3）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为、，求证：为定值．

9 . 已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点，为曲线所在圆锥曲线的焦点

（1）若，求曲线的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值

10 . 双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线的一条准线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程．