1 . 已知双曲线的焦距为，点在上.
(1)求的方程;
(2)直线与的右支交于，两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：直线过点.

2 . 已知双曲线的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线的距离之积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线于两点，为坐标原点，求的面积．

3 . 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线E实轴长为2，过点且斜率为的直线交双曲线C的右支不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

4 . 已知双曲线经过点，两个焦点为，．
（1）求的方程；
（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，并求此定值．