1 . （1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为．求双曲线的标准方程；
（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于两点，且P是线段AB的中点，求证：为常数；
（3）我们知道函数的图象是由双曲线的图象逆时针旋转45°得到的，函数的图象也是双曲线，请尝试写出曲线的性质（不必证明）．

2 . 设动点P到两定点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在，使是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

3 . 已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.

4 . 已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．

5 . 已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；
(3)设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.

6 . 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线：与曲线相交于，两点(，均异于左、右顶点)，且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.

7 . 如图，椭圆与一等轴双曲线相交，是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点，，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为、和、.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）（i）证明：；
（ii）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.
（1）当运动到时，求的值；
（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.

9 . 如图，已知双曲线，双曲线以的左、右焦点、为顶点，且与有相同的渐近线．

（1）求的标准方程；
（2）设点为右支上的一个动点，直线与交于、两点，直线与交于、两点，请你探索是否为定值？证明你的结论．

10 . 已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.

（1）求双曲线的方程；
（2）求证：面积为定值，并求出该定值.