1 . 已知抛物线，与圆，直线与抛物线相交于，两点.
（1）求证：.
（2）若直线与圆相切，求的面积.

2 . 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点.

（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；
（Ⅱ）求证：.

3 . 对于直线与抛物线，若与有且只有一个公共点且与的对称轴不平行（或重合），则称与相切，直线叫做抛物线的切线．

（1）已知是抛物线上一点，求证：过点的的切线的斜率；
（2）已知为轴下方一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．求证：成等差数列；
（3）如图所示，、是抛物线上异于坐标原点的两个不同的点，过点的的切线分别是，直线交于点，且与轴分别交于点．设为方程的两个实根，表示实数中较大的值．求证：“点在线段上”的充要条件是“”．

4 . 已知直线是经过点且与抛物线相切的直线.
（1）求直线的方程
（2）如图，已知点，，是轴上两个不同的动点，且满足，直线，与抛物线的另一个交点分别是，，求证：直线与平行.

5 . 已知是抛物线上一点，为的焦点．
（1）若，是上的两点，证明：，，依次成等比数列．
（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．

6 . 已知抛物线上一点到焦点的距离等于.
（I）求抛物线的方程和实数的值；
（II）若过的直线交抛物线于不同两点，（均与不重合），直线，分别交抛物线的准线于点，.求证.

7 . 设，动圆C经过点，且被y轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C的轨迹为E．
Ⅰ求轨迹E的方程；
Ⅱ求证：在轨迹E上存在点A，B，使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形．

8 . 已知抛物线，直线交此抛物线于不同的两个点、．
(1)当直线过点时，证明，为定值．
(2)当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；反之，请说明理由．
(3)记，如果直线过点，设线段的中点为，线段的中点为．问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．