1 . 已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．
(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；
(2)过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围．

2 . 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，的周长为．
(1)求C的方程；
(2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求的取值范围．

3 . 已知椭圆C：的左顶点为A，椭圆C的离心率为且与直线相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于M，N两点（异于点A），且．则直线l是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由．

4 . 已知椭圆过点，且椭圆的离心率为 .

(1)求椭圆的方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段的中点，再过作直线，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

5 . 已知椭圆，圆与x轴的交点恰为的焦点，且上的点到焦点距离的最大值为.
(1)求的标准方程；
(2)不过原点的动直线l与交于两点，平面上一点满足，连接BD交于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若，试判断直线l与圆M的位置关系，并说明理由.

6 . 定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.

7 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

8 . 设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.
(1)当时，求；
(2)在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足
(1)求动点的轨迹方程
(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由

10 . 已知点在椭圆上，且点Q到曲线C的两焦点的距离之和为．
(1)求C的方程；
(2)设圆上任意一点P处的切线l交C于点M、N，求cos∠MON的值．