1 . 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于第一象限内的点，连接并延长交椭圆于另一点，点，若为锐角，求的面积的取值范围．

2 . 在①离心率为，且经过点(3，4)；②一条准线方程为x＝4，且焦距为2．这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l存在，求出l的方程；若问题中的直线l不存在，说明理由．
问题：已知曲线C：mx²＋ny²＝1(m，n≠0)的焦点在x轴上，____________，是否存在过点P(－1，1)的直线l，与曲线C交于A，B两点，且P为线段AB的中点？
注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，左顶点为，下顶点为，连结并延长交椭圆于点，连结，.记椭圆的离心率为.

（1）若，，求椭圆的标准方程；
（2）若直线与的斜率之积为，求的值.

4 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：过点，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，设直线与圆相切与点，与椭圆相切于点，当为何值时，线段长度最大？并求出最大值.

5 . 在平面直角坐标系式中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程．

6 . 已知椭圆C:，若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程_____________.

7 . 设椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M、N，且点O在以MN为直径的圆外（其中O为坐标原点），求的取值范围.

8 . (本小题满分分)已知圆有以下性质：
①过圆上一点的圆的切线方程是.
②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为.
③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段.
(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)；
(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程；
(3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值，且平分线段.

9 . 已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．
（1）求圆和椭圆的方程．
（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．

10 . 已知椭圆经过点，且与椭圆有相同的焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线交于点，问：以线段为直径的圆是否经过一定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．