1 . 椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．

2 . 如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，其中、在轴的同一侧．

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明；
（3）是否存在题设中的点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于、两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与、重合）.设的外心为，求证为定值.

4 . 已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线（）交椭圆于两点（不同于点）.过原点的一条直线与直线交于点，与直线分别交于点.
（ⅰ）当时，求的最大值；
（ⅱ）若，求证：点在一条定直线上.