1 . 已知椭圆的方程为为的左顶点，为的上顶点，的离心率为的面积为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，过点且垂直于轴的直线交直线于点，证明：线段的中点在定直线上．

2 . 已知椭圆的长轴长为，焦距为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线交椭圆C于A、B两点，为椭圆上第一象限内一点，直线PA与直线PB斜率之积为，证明直线过定点Q，并求出|PQ|的长.

3 . 已知椭圆的离心率为，为椭圆左右焦点，为椭圆上第一象限内一点，且三角形面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线交椭圆C于A、B两点，直线PA与直线PB斜率之积为，证明直线过定点Q，并求出|PQ|的长.

4 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，且，若轴，求证：存在实数t，使得直线MG过y轴上的定点．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，面积的最大值为，且当时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆的两个交点分别为、，且，都不在轴上，过点作轴的垂线，若横坐标为的点在直线上，求证：直线过．

6 . 已知椭圆C：（）的左，右焦点为，，且焦距为，点，分别为椭圆C的上、下顶点，满足.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，椭圆C上的两个动点M，N满足，求证：直线过定点.

7 . 已知椭圆的离心率为，且，，成等比数列
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点．

8 . 已知椭圆的离心率为，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F₁PF₂面积的最大值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l₁，l₂分别交椭圆于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）记椭圆的左顶点为，过点作直线，分别交椭圆于点，(异于点)，当时，求证：直线过定点.

10 . 已知椭圆，点、、在椭圆上，直线与直线的斜率之积.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线点关于直线的对称点是，求证：过点，的直线恒过定点.