1 . 已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，，经过点的一条直线与椭圆交于A，B两点.若直线AB的倾斜角为，则弦长AB为______.

2 . 设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.

3 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.

4 . 已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．

5 . 已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上.直线AP与椭圆C的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由.

6 . 已知椭圆C：的左､右焦点分别为（-c，0），（c，0），点A（0，b）满足
(1)求C的方程.
(2)设过的直线，的斜率分别为，，且，与C交于点D，E，与C交于点G，H，线段DE与GH的中点分别为M，N.判断直线MN是否过定点.若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.

7 . 已知椭圆：经过，，三点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为椭圆E上不同于，的任意一点，，，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
(3)若直线：与椭圆交于，两点，证明直线与直线的交点在直线上．

8 . 设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点.

（1）若，求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.
（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.

9 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于M、N两点，直线BM与直线BN的斜率之积为，证明直线l过定点并求出该定点坐标．

10 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.