1 . 已知椭圆的短轴长为2，点在上.
(1)求的方程；
(2)设是上不同于短轴端点（点在点上方）的两点，直线与直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点.

2 . 已知点为椭圆C上的一点，.
(1)求C的方程；
(2)若直线l交C于M，N两点，连接BM，BN并延长，记直线BM，BN，l的斜率满足，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

3 . 设椭圆的上顶点为，且长轴长为，则椭圆的标准方程为___________；过任作两条互相垂直的直线分别另交椭圆于，两点，则直线过定点___________．

4 . 已知椭圆的左､右顶点分别，上顶点为，的长轴长比短轴长大4.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点（异于点），且，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.

5 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.

6 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，上､顶点分别为的面积为，四边形的四条边的平方和为16.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，斜率为的直线交椭圆于两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的垂直平分线与圆恒有两个交点.

7 . 已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

8 . 椭圆C：的离心率为，其左，右焦点分别为，，上顶点为B，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作关于x轴对称的两条不同的直线和，交椭圆于点，交椭圆于点，且，证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．

9 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，右顶点为A，M，N是椭圆上关于原点对称且异于顶点的两点，记直线与直线的斜率分别为，且.
(1)求C的方程；
(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线与直线的斜率分别为且，证明：直线l恒过定点.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，通径长为3，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆T的方程；
(2)设椭圆T与直线交于点M，且M在第二象限，直线l与T交于异于点M的P，Q两点，E是线段的中点，若，求证直线l过定点，并求出定点的坐标．