1 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点，且.
(1)求的方程.
(2)设的右顶点为点，过点的直线与交于两点（异于），直线与轴分别交于点，试问线段的中点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

2 . 已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于，两点.
(1)求面积的最大值，并求此时直线的方程；
(2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

3 . 如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得(其中，为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．

4 . 在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点､下顶点､右焦点分别为A，B，F.
(1)若直线与椭圆E的另一个交点为C，求四边形的面积；
(2)设M，N是椭圆E上的两个动点，直线与的斜率之积为，若点P满足：.问：是否存在两个定点G，H，使得为定值？若存在，求出G，H的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆，椭圆长轴长为4，离心率为，AB是经过右焦点F的任一弦，设直线AB与直线交于点M.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)试问在椭圆上是否存在一定点P使得，，成等差数列

（其中，，分别为直线PA，PM，PB的斜率），若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆经过两点和．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于不同的两点、，在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 已知点是椭圆上一点，且的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点、在椭圆上，，为垂足，若直线和直线斜率之积为.求证：存在定点，使得为定值.

8 . 已知椭圆的焦距为，经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线分别交椭圆于A，B．，Q为垂足．是否存在定点R，使得为定值，说明理由．

9 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆短轴的一个四等分点，是椭圆短轴的一个端点，且的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的动直线交椭圆于两点，是轴上不同于点的一点，不论直线的斜率如何变化，总有直线关于轴对称，求点的坐标．

10 . 已知椭圆：的左、右顶点分别是双曲线：的左、右焦点，且与相交于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.