1 . 已知椭圆的右焦点为F，A为椭圆上一点，为坐标原点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点（点B、D不重合）．
(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；
(2)点为直线上一点，记的斜率分别为，若，求点的坐标．

2 . 已知，，是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线，与椭圆的两个交点分别为、，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.

4 . 已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.
(1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；
(2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

5 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．

6 . 已知椭圆的右焦点为，椭圆上异于顶点的动点满足直线与的斜率之积为.
（1）求椭圆的方程.
（2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点与不重合)在轴上，直线分别与轴交于是否存在定点使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆：的离心率，点，点、分别为椭圆的上顶点和左焦点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过定点的直线与椭圆交于，两点（在，之间）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆 ，离心率，它的长轴长等于圆的直径.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于两点，是否存在定点 ，使得以为直径的圆经过这个定点，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由？