2 . 已知椭圆的离心率为，其左焦点为．

(1)求的方程；
(2)如图，过的上顶点作动圆的切线分别交于两点，是否存在圆使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆：的左焦点为，上顶点为.直线与椭圆交于另一点，且，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，作，垂足为.是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

5 . 已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆的一个短轴的端点到一个焦点的距离为2.
（1）求的方程；
（2）设是在第一象限内的一点，点关于轴､坐标原点的对称点分别为､，垂直于轴，垂足为，直线与轴､分别交于点､，直线交于点.
（i）求直线的斜率的最小值；
（ii）直线交直线于点，证明：轴.

7 . 已知点，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）问在第一象限内曲线上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点离右焦点的最短距离为1.
（1）求椭圆的方程.
（2）直线（斜率不为0）经过点，与椭圆交于两点，问轴上是否存在一定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆的焦距为，经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线分别交椭圆于A，B．，Q为垂足．是否存在定点R，使得为定值，说明理由．

10 . 已知椭圆的右焦点为，离心率．
（1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；
（2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．