1 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

2 . 已知椭圆，为其左焦点，在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不同的两点，以为直径的圆过原点，求的最大值.

3 . 已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．
（1）求该椭圆的标准方程；

（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．

4 . 已知椭圆经过点，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于、两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆中，是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于两点，若的周长为8，离心率为.
（1）求椭圆方程；
（2）若弦的斜率不为0，且它的中垂线与轴交于，求的纵坐标的范围；
（3）是否在轴上存在点，使得轴平分？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.