1 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

2 . 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，且，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）为椭圆上一点，射线，分别交椭圆于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，以的长轴为直径的圆的方程为.
（1）求的方程；
（2）直线与轴平行，且与交于，两点，，分别为的左、右顶点.直线与交于点，证明：点与点的横坐标的乘积为定值.

4 . 已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.

5 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.

（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.

6 . 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段上有一点，使得，
（1）求的轨迹的方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点，且以为直径的圆经过原点，求证：点到直线的距离为定值.

7 . 已知椭圆：过，两点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为，直线交直线于点，记直线，的斜率分别为，求的值.

8 . 已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点，，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若线段的垂直平分线通过点，证明：．

10 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为k的直线l过点且与椭圆交于C，D两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为直线，的斜率，当k变动时，是否为定值？说明理由.