1 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，的周长为16.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆D：与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C上一动点，直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，且G、H两点在y轴同侧，O为原点，求证：为定值.

2 . 已知椭圆的两焦点分别为，椭圆上的动点满足分别为椭圆的左，右顶点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与直线交于点（异于点），为坐标原点，求证：.

3 . 设椭圆的离心率，过点A（1，）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的左顶点，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于两点，若直线的斜率分别为试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

4 . 已知，分别是椭圆的左，右焦点，，当在上且垂直轴时，.

（1）求的标准方程；
（2）为的左顶点，为的上顶点，是上第四象限内一点，与轴交于点，与轴交于点.
（i）证明：四边形的面积是定值.
（ii）求的面积的最大值.

5 . 已知点为椭圆（）上任一点，椭圆的一个焦点坐标为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

6 . 已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.