1 . 已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．

2 . 已知双曲线的焦距为4，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点．

4 . 已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.
(1)求的方程；
(2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.

5 . 已知双曲线的一条渐近线的一个方向向量为，右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不与轴垂直的直线与双曲线交于两点（异于点），若直线的斜率之积为，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

6 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

7 . 已知，动点满足与的斜率之积为定值.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.

8 . 已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

9 . 已知双曲线：的一条渐近线的斜率为，右焦点到其中一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线（斜率存在且不为0）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.

10 . 已知双曲线的右焦点为，且过点.
(1)求的标准方程；
(2)已知点A为的右顶点，M，N是上异于点A的两个不同点，且，证明：直线MN过定点，并求出定点坐标.