1 . 双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．

2 . 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，在第一象限，直线与交于点.求证：点在定直线上.

3 . 已知点在双曲线上．
(1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．

4 . 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设A，分别是双曲线的上，下顶点，是下焦点，过点的直线与曲线交于，两点，直线与相交于，求证：点在定直线上.

5 . 已知双曲线E：的中心为原点O，左、右焦点分别为，，离心率为.
(1)求实数a的值.
(2)若点P坐标为，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足.证明：点H恒在一条定直线上.

6 . 已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．

7 . 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．

9 . 已知曲线上任意一点满足，且.
(1)求的方程；
(2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上.

10 . 已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为．
(1)求双曲线的方程：
(2)当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程．