1 . 已知A，B为抛物线C：上的两点，△OAB是边长为的等边三角形，其中O为坐标原点．
(1)求C的方程．
(2)过C的焦点F作圆M：的两条切线，．
（i）证明：，的斜率之积为定值．
（ii）若，与C分别交于点D，E和H，G，求的最小值．

3 . 已知抛物线，F为C的焦点，过点F的直线与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．
(1)当的斜率为时，求；
(2)证明：．

4 . 已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，.

（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
（3）求的最小值.

5 . 过点直线交抛物线于，两点，抛物线的顶点是.
（1）证明：为定值；
（2）若中点横坐标为2，求的长度及的方程.

6 . 椭圆:的离心率为，抛物线:截轴所得的线段长等于，与轴的交点为，过点作直线与相交于点，，直线，分别与相交于，.
(1)求证:；
(2)设，的面积分别为，，若，求的取值范围.

7 . 如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于两点，且.

（1）证明：抛物线与圆相切；
（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围.

8 . 已知直线与抛物线：相交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使？若存在，求的值；若不存在，说明理由.