1 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．

2 . 已知抛物线的焦点为为上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且（为坐标原点），记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积.

3 . 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.
   
(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值.

4 . 如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.

(1)证明：以为直径的圆经过点；
(2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围.

5 . 如图，已知直线与抛物线和圆都相切，F是的焦点．

（1）求m与a的值；
（2）设A是上的一动点，以A为切点作抛物线的切线，直线交y轴于点B，以为邻边作平行四边形，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为，直线与y轴的交点为N，连接交抛物线于两点，求的面积S的取值范围．

6 . 已知动点到定点的距离比到定直线的距离小.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，.设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点；
（3）在（2）的条件下，求面积的最小值.

7 . 已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．

（1）求焦点的坐标，并证明直线过点；
（2）求四边形面积的最小值．