1 . 已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．
   
(1)如图1所示，已知|，求线段中点到轴的距离；
(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；
(3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围．

2 . 已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

3 . 已知焦点为的抛物线：（）上一点到的距离是4.
(1)求抛物线的方程.
(2)若不过原点的直线与抛物线交于，两点（，位于轴两侧），的准线与轴交于点，直线，与分别交于点，，若，证明：直线过定点.

4 . 已知抛物线为其焦点，点在上，且（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)若是上异于点的两个动点，当时，过点作于，问平面内是否存在一个定点，使得为定值？若存在，请求出定点及该定值：若不存在，请说明理由.

5 . 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点.

6 . 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的标准方程．
(2)直线：与抛物线交于，两点，直线外一点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

7 . 已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.

8 . 已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为45°的直线与抛物线交于两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线上不同的三点，且，若点的横坐标为8，证明：直线过定点.

9 . 如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A（2，1）作斜率分别为k₁，k₂的直线，分别交抛物线E于B，C两点.

（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；
（2）若k₁+k₂＝k₁k₂，证明：直线BC恒过定点.

10 . 已知抛物线过点，
（1）求物线的方程；
（2）为坐标原点，A､B为抛物线C上异于原点的不同两点，直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点.