1 . 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）若的面积为6，求点的坐标.

3 . 抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．

   

(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．

4 . 已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H．
(1)求的方程．
(2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
(3)证明：点H在直线上．

5 . 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.

6 . 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、.当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.求证：直线过定点.

7 . 在平面直角坐标系中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线经过点.
(1)求的方程；
(2)若关于轴对称，焦点为，过点且与轴不垂直的直线交于，两点，直线交于另一点，直线交于另一点，求证：直线过定点.

8 . 已知抛物线上有一点，为抛物线的焦点，，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点向圆（点在圆外）引两条切线，交抛物线于另外两点，求证：直线过定点.

9 . 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
(1)证明：直线过定点；
(2)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．

10 . 已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点.
（i）求直线的斜率；
（ii）证明：直线与交于定点.