1 . 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.
(1)求C的方程；
(2)存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；
(3)对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值.

2 . 已知，，平面内动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线交C于A、B两点，O为坐标原点，直线和的倾斜角分别为和，若，求证直线过定点，并求出该定点坐标；
(3)设（2）中定点为Q，记与的面积分别为和，求的取值范围.

3 . 设抛物线，过点的直线与交于两点，且.若抛物线的焦点为，记的面积分别为.

       

(1)求的最小值.
(2)设点，直线与抛物线的另一交点为，求证：直线过定点.
(3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当为等腰直角三角形时，记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积.

4 . 如图抛物线，过有两条直线与抛物线交于与抛物线交于，

(1)若斜率为1，求；
(2)是否存在抛物线上定点，使得，若存在，求出点坐标并证明，若不存在，请说明理由；
(3)直线与直线相交于两点，证明：为中点.

5 . 如图，已知抛物线，其焦点为，其准线与轴交于点，以为直径的圆交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，且．

(1)求的方程．
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点，若抛物线上存在点，，使得．求证：直线过定点．

6 . 已知点，，中恰有两个点在抛物线上．
(1)求的标准方程
(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．

7 . 在平面直角坐标系中，点在抛物线上.

(1)求的准线方程.
(2)已知点，，是的两条切线，，是切点，圆经过点，，.

①若，求证：；

②设圆在，处的切线的交点为，求证：直线过定点.

附：若点在圆上，则圆在点处的切线方程为.

8 . 已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.
(1)求圆和抛物线的方程；
(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．

9 . 已知抛物线，其焦点为．
(1)两点为抛物线上的动点且满足，直线不垂直于轴，求证：线段的垂直平分线过定点，并求出点的坐标；
(2)已知椭圆，圆，过（1）中点作斜率分别为的直线，且满足，直线交椭圆于两点，直线交圆于两点，点为中点，求面积的取值范围．

10 . 已知过轴正半轴上一点的直线：交抛物线：于，两点，且，证明点为定点，并求出该定点的坐标．