1 . 已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

2 . 设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)点，过F的直线交C于 两点，连接 ，与C的另一个交点分别为 ，记直线的斜率分别为．求证：为定值．

3 . 已知曲线C上的点都在y轴及其右侧，且C上的任一点P到y轴的距离比它到圆F：x²+y²﹣2x0的圆心的距离小1．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F分别作直线l₁，l₂，其中直线l₁交曲线C于点A，B，直线l₂交曲线C于点M，N，且直线AM过定点，求证：直线BN的斜率为定值．

4 . 如图，F是抛物线的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．

(1)当k取不同数值时，求直线l与抛物线公共点的个数；
(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：是定值．
(3)在x轴上是否存在这样的定点M，对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点，均能使得为定值，若有，找出满足条件的点M;若没有，请说明理由．

5 . 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）的外接圆圆心到准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于另一点，证明：为定值；
（3）过点作圆的两条切线，与轴分别交于，两点，求面积取得最小值时对应的的值．

6 . 已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.

7 . 过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，
（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；
（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.

8 . 已知F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线E相交于A、B两点，且，过点F且斜率为的直线与抛物线E相交于C、D两点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）若点A和C均在第一象限，求证：抛物线E的准线、直线和直线三线共点.

9 . 已知过点，圆心在抛物线上运动，若为在轴上截得的弦，设，.

（1）当运动时，是否变化？证明你的结论.
（2）求的最大值，并求出此时方程.

10 . 如图，已知点F（1，0）为抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．

（1）求p的值及抛物线的准线方程 ；
（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；     
（3）当x_A∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．