1 . 已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值.

2 . 已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．

3 . 在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知直线过点，与轨迹交于，两点．求证：直线与直线的倾斜角互补．

4 . 如图，已知抛物线：（）上的点到焦点的距离的最小值为1，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，为线段上的动点，过点作抛物线的切线，切点为（异于点，），且直线交线段于点．

(1)求抛物线的方程；
(2)证明：为定值．

5 . 在平面直角坐标系中，直线与抛物线（）交于点,设直线、的斜率分别为、.
(1)若直线经过抛物线的焦点，证明：；
(2)若（为常数），直线是否经过某个定点？若经过，求出这个定点；若不经过，请说明理由.

6 . 已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.

7 . 已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程和的值；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.

8 . 已知过抛物线（）焦点的动直线与抛物线交于两点，且的最小值为4.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点作平行于轴的直线与直线交于点，记直线、的斜率分别为、，为坐标原点，求证：为定值.

9 . 已知抛物线与直线交于、两点.
（Ⅰ）当线段的中点纵坐标为4时，求的值；
（Ⅱ）直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，设直线与轴的交点为.若与两直线的倾斜角互补，请问：是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.

10 . 已知抛物线C；过点．
   
求抛物线C的方程；
过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．