解题方法
1 . 2024年3月28日,小米SU7汽车上市,对电动汽车市场产生了重大影响,某品牌电动汽车采取抽奖促销活动,每位顾客只能参加一次.抽奖活动规则如下:在一个不透明的口袋中装有个球,其中有4个黑球,其余都是白球,这些球除颜色外全部相同,顾客将口袋中的球随机地逐个取出,并放入编号为1,2,3,,的纸盒内,其中第次取出的球放入编号为的纸盒.若编号为1,2,3,4的纸盒中有4个黑球,则获得优惠券10000元;若编号为1,2,3,4的纸盒中有3个黑球,则获得优惠券5000元;若编号为1,2,3,4的纸盒中有2个黑球,则获得优惠券1000元;其他情况不获得优惠券.
(1)已知,顾客甲参加了此品牌电动汽车的促销活动,求顾客甲获得优惠券的概率;
(2)设随机变量表示最后一个取出的黑球所在纸盒编号的倒数,证明:的期望小于.
(1)已知,顾客甲参加了此品牌电动汽车的促销活动,求顾客甲获得优惠券的概率;
(2)设随机变量表示最后一个取出的黑球所在纸盒编号的倒数,证明:的期望小于.
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2 . 在信息理论中,和是两个取值相同的离散型随机变量,分布列分别为:,,,,,.定义随机变量的信息量,和的“距离”.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
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3 . 2023年高考进入倒计时,为了帮助学子们在紧张的备考中放松身心,某重点高中通过开展形式多样的减压游戏,确保同学们以稳定心态,良好地状态迎战高考,游戏规则如下:盒子中初始装有2个白球和1个红球各一个,每次有放回的任取一个,连续取两次,将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是红球,则记该轮为成功,否则记为失败.在抽取过程中,如果某一轮成功,则停止;否则,在盒子中再放入一个白球,然后接着进行下一轮抽球,如此不断继续下去,直至成功.
(1)如果某同学进行该抽球游戏时,最多进行三轮,即使第三轮不成功,也停止抽球,记其进行抽球试验的轮次数为随机变量,求的分布列和数学期望;
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过,假设有1000名学生独立的进行该抽球试验,记表示成功时抽球试验的轮次数,表示对应的人数,部分统计数据如下:
求关于的回归方程,并通过回归方程预测成功的总人数(取整数部分);
(3)证明:.
附:经验回归方程系数:,;
参考数据:,,(其中,).
(1)如果某同学进行该抽球游戏时,最多进行三轮,即使第三轮不成功,也停止抽球,记其进行抽球试验的轮次数为随机变量,求的分布列和数学期望;
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过,假设有1000名学生独立的进行该抽球试验,记表示成功时抽球试验的轮次数,表示对应的人数,部分统计数据如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
120 | 62 | 33 | 20 | 15 |
(3)证明:.
附:经验回归方程系数:,;
参考数据:,,(其中,).
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解题方法
4 . 随着春季学期开学,某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理,助力推广校园文明餐桌行动,培养广大师生文明餐桌新理念,以“小餐桌”带动“大文明”,同时践行绿色发展理念.该市某中学有A,B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务,王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐,近一个月(30天)选择餐厅就餐情况统计如下:
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立,用频率估计概率.
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率;
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数,求X的分布列和数学期望;
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”,N表示事件“某学生去A餐厅就餐”,,已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大,证明:.
选择餐厅情况(午餐,晚餐) | ||||
王同学 | 9天 | 6天 | 12天 | 3天 |
张老师 | 6天 | 6天 | 6天 | 12天 |
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率;
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数,求X的分布列和数学期望;
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”,N表示事件“某学生去A餐厅就餐”,,已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大,证明:.
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2023-04-24更新
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2877次组卷
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5卷引用:江西省南昌市2023届高三三模数学(理)试题
江西省南昌市2023届高三三模数学(理)试题黑龙江省齐齐哈尔市2023届高三一模数学试题(已下线)数学(新高考Ⅰ卷)(已下线)模块六 专题11 易错题目重组卷( 黑龙江卷)(已下线)期末押题预测卷01(范围:选择性必修第二册、选择性必修第三册)-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷(人教A版2019)
名校
5 . 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内,放满为止,记为一轮.每次放白球的频率为,放红球的概率为q,.
(1)若,,记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数,统计数据如表:
求y关于n的回归方程,并预测时,y的值;(精确到1)
(2)若,,,,记在每列都有白球的条件下,含红球的行数为随机变量,求的分布列和数学期望;
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率,并证明:.
附:经验回归方程系数:,,,.
(1)若,,记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数,统计数据如表:
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 76 | 56 | 42 | 30 | 26 |
(2)若,,,,记在每列都有白球的条件下,含红球的行数为随机变量,求的分布列和数学期望;
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率,并证明:.
附:经验回归方程系数:,,,.
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2023-01-15更新
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2654次组卷
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7卷引用:江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷
江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷重庆市缙云教育联盟2023届高三二模数学试题山东省青岛市2022-2023学年高三上学期期末数学试题(已下线)模块八 专题10 以概率与统计为背景的压轴大题江苏省无锡市南菁高级中学2024届高三上学期期末模拟数学试题(已下线)第八章 成对数据的统计分析(压轴题专练)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)专题8.8 成对数据的统计分析全章综合测试卷(提高篇)-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第三册)
名校
解题方法
6 . 高三某班有()位同学组成学习拔尖小组,每人写了一个高考祝福的卡片准备送给其他同学,小组长收齐后,让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片.
(1)求甲和乙恰好互换卡片的概率;
(2)①当时恰有个人取回自己的卡片,试求的分布列;
②记个同学都拿到其他同学的卡片的概率为,且已知,试写出及的表达式(无需证明)
(1)求甲和乙恰好互换卡片的概率;
(2)①当时恰有个人取回自己的卡片,试求的分布列;
②记个同学都拿到其他同学的卡片的概率为,且已知,试写出及的表达式(无需证明)
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名校
7 . 某种疾病可分为、两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系,在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查,其中女性是男性的倍,男性患型病的人数占男性病人的,女性患型病的人数占女性病人的.
(1)若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关,求男性患者至少有多少人?
(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为,每人每次接种花费元,每个周期至多接种3次,第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期,否则需依次接种至第一周期结束,再进入第二周期:第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验,否则需依次接种至至试验结束:乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为,每人每次花费元,每个周期接种次,每个周期必须完成次接种,若一个周期内至少出现次抗体,则该周期结束后终止试验,否则进入第二个接种周期,假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当,时,从两个团队试验的平均花费考虑,试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附:,
(1)若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关,求男性患者至少有多少人?
(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为,每人每次接种花费元,每个周期至多接种3次,第一个周期连续次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期,否则需依次接种至第一周期结束,再进入第二周期:第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验,否则需依次接种至至试验结束:乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为,每人每次花费元,每个周期接种次,每个周期必须完成次接种,若一个周期内至少出现次抗体,则该周期结束后终止试验,否则进入第二个接种周期,假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当,时,从两个团队试验的平均花费考虑,试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附:,
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2021-03-23更新
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1562次组卷
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10卷引用:江西省六校2021届高三3月联考数学(理)试题
江西省六校2021届高三3月联考数学(理)试题(已下线)综合测试卷(巅峰版)-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学课时训练(人教A版2019选择性必修第二册)(已下线)8.8 分布列与其他知识综合运用(精练)-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习(新高考地区专用)(已下线)2020年高考全国3数学理高考真题变式题16-20题(已下线)第48讲 统计案例-2022年新高考数学二轮专题突破精练(已下线)第51讲 概率与统计综合问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练(已下线)第02讲 独立性检验-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)押全国卷(理科)第18题 概率与统计-备战2022年高考数学(理)临考题号押题(全国卷)重庆市万州第二高级中学2021-2022学年高二下学期6月第五次质量检测数学试题(已下线)专题26 概率综合问题(分布列)(解答题)(理科)-2
8 . 超级细菌是一种耐药性细菌,产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多,但是由于滥用抗生素的现象不断的发生,很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性,更可怕的是,抗生素药物对它起不到什么作用,病人会因为感染而引起可怕的炎症,高烧,痉挛,昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌,需要检验血液是否为阳性,现有n()份血液样本,每个样本取到的可能性相等,有以下两种检验方式:(1)逐份检验,则需要检验n次;(2)混合检验,将其中k(且)份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,则这份的血液全为阴性,因而这k份血液样本只要检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性,就要对这k份血液再逐份检验,此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p().现取其中k(且)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.
(1)运用概率统计的知识,若,试求P关于k的函数关系式;
(2)若P与抗生素计量相关,其中,,…,()是不同的正实数,满足,对任意的(),都有.
(i)证明:为等比数列;
(ii)当时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少,求k的最大值.
参考数据:,,,,,
,,,
(1)运用概率统计的知识,若,试求P关于k的函数关系式;
(2)若P与抗生素计量相关,其中,,…,()是不同的正实数,满足,对任意的(),都有.
(i)证明:为等比数列;
(ii)当时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少,求k的最大值.
参考数据:,,,,,
,,,
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名校
9 . 甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目,答题分两轮,第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”,答题规则是:每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是,乙恰能答对备选5道题中的其中3道题;第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”,答题规则是:先确定一人坐庄答题,若答对,继续答下一题…,直到答错,则换人(换庄)答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄,则他答第1题,若答对继续答第2题,如果第2题也答对,继续答第3题,直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题,…直到乙答错再换成甲坐庄答题,依次类推两人共计答完20道题游戏结束,假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答,且记第道题也由该同学(最先答题的同学)作答的概率为(),其中,已知供甲乙回答的20道题中,甲,乙两人答对其中每道题的概率都是,如果某位同学有机会答第道题且回答正确则该同学加10分,答错(不答视为答错)则减5分,甲乙答题相互独立;两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题
(1)请预测第二轮最先开始作答的是谁?并说明理由
(2)①求第二轮答题中,;
②求证为等比数列,并求()的表达式.
(1)请预测第二轮最先开始作答的是谁?并说明理由
(2)①求第二轮答题中,;
②求证为等比数列,并求()的表达式.
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2020-04-11更新
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1171次组卷
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5卷引用:江西省重点中学协作体2020届高三第二次联考数学(理科)试题
江西省重点中学协作体2020届高三第二次联考数学(理科)试题湖湘名校(A佳教育)2019-2020学年高三下学期3月线上自主联合检测数学(理)试题A佳教育湖湘名校2019-2020学年高三下学期3月线上自主联合检测理科数学试题黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练(三)数学(理)试题(已下线)易错点13 模拟卷(二)-备战2021年新高考数学一轮复习易错题
10 . 某公司为了丰富员工的业余文化生活,召开了一次趣味运动会.甲、乙两人参加“射击气球”这项比赛活动,他们依次轮流射击气球一次,每人射击次(射击次数由参与比赛的两人决定),其中射击气球只有两种结果:“中”与“不中”.比赛规则如下:甲先射击,若结果是“中”,则本次射击得2分,否则得1分;再由乙第一次射击,若结果为“中”,其得分在甲第一次得分的基础上加1分,否则得1分;再由甲第二次射击,若结果为“中”,其得分在乙第一次得分的基础上加1分,否则得1分;再由乙第二次射击,若结果为“中”,其得分在甲第二次得分的基础上加1分,否则得1分;再由甲第三次射击,按此规则,直到比赛结束.已知甲、乙每次击中气球的概率均为.记,分别表示甲,乙第次射击的得分.
(1)若,记乙的累计得分为,求的概率.
(2)①求数学期望,,;
②记,,,….证明:数列为等比数列.
(1)若,记乙的累计得分为,求的概率.
(2)①求数学期望,,;
②记,,,….证明:数列为等比数列.
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2020-06-29更新
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1035次组卷
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5卷引用:江西省大联考2020届高三6月数学试卷(理科)试题
江西省大联考2020届高三6月数学试卷(理科)试题江西省2020届高三(6月份)高考数学(理科)模拟试题甘肃省陇南市6月联考2020届高三数学试卷(理科)甘肃省靖远县2020届高三下学期第四联考数学(理)试题(已下线)考点39 均值与方差在生活中运用(练习)-2021年高考数学复习一轮复习笔记