名校
解题方法
1 . 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额
（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
(1)公司拟分别用①
和②
两种方案作为年销售量
关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（
计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
(2)根据下表数据，用决定系数
（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为
百万元时，产品的销售量是多少?
参考公式及数据：
，
，
，
，
，
，
，
， 
．
（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
| 1 | 1.5 | 3 | 6 | 12 |
|
|
|
|
|
|
|
和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）(2)根据下表数据，用决定系数
（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?经验回归方程 |
|
|
残差平方和 |
|
|
，，，，，，，， ．
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2024-02-20更新
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1785次组卷
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8卷引用：重庆市第一中学校2023-2024学年高三下学期2月开学考试数学试卷
重庆市第一中学校2023-2024学年高三下学期2月开学考试数学试卷（已下线）专题08 统计案例分析（讲义）（已下线）第9章 统计 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）专题8.2 一元线性回归模型及其应用【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第八章 成对数据的统计分析总结 第二课提炼本章思想（已下线）第八章：成对数据的统计分析章末重点题型复习（5题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题8.6 成对数据的统计分析全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题8.4 统计分析大题专项训练【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）
2 . 随着科学技术的飞速发展，网络也已逐渐融入了人们的日常生活．网购作为一种新的消费途径，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据（其中“
”表示2014年，“
”表示2015年，依次类推：表示人数）：
（Ⅰ）试根据表中的数据，求出关于的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万；
（Ⅱ）该公司为了吸引网购者，特别推出两种促销方案：
【方案一】金额每满600元，可减50元；
【方案二】金额超过600元，可抽奖三次，每次中奖的概率均为
，且每次抽奖3的结果互不影响.中奖一次打9折，中奖二次打8折，中奖三次打7折.
①某网购者打算买1000元的产品，应选择哪一种方案？
②有甲乙两位网购者都买了超过600元的产品，且都选择了方案二，求至少有一位网购者中奖的概率.
附：在线性回归方程中，
.
”表示2014年，“”表示2015年，依次类推：表示人数）： | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| （万人） | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
关于的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万；（Ⅱ）该公司为了吸引网购者，特别推出两种促销方案：
【方案一】金额每满600元，可减50元；
【方案二】金额超过600元，可抽奖三次，每次中奖的概率均为
，且每次抽奖3的结果互不影响.中奖一次打9折，中奖二次打8折，中奖三次打7折.①某网购者打算买1000元的产品，应选择哪一种方案？
②有甲乙两位网购者都买了超过600元的产品，且都选择了方案二，求至少有一位网购者中奖的概率.
附：在线性回归方程
中，.
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解题方法
3 . 当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争.特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击.我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利.
(1)在研发过程中，对研发时间x(月)和产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下：
现用
作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少?
(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：
①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；
②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为
，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学? 并说明理由.
参考数据：设z＝
，zi＝
，
＝0.37，
＝50，
＝184.5，
－72＝0.55；
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线
＝
u＋
中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为＝
，＝
－
.
(1)在研发过程中，对研发时间x(月)和产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下：
| x(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| y(nm) | 99 | 99 | 45 | 32 | 30 | 24 | 21 |
作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少?(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：
①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；
②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为
，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学? 并说明理由.参考数据：设z＝
，zi＝，＝0.37，＝50，＝184.5，－72＝0.55；参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线
＝u＋中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为＝，＝－.
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名校
4 . 为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，某边远山区每户居民月用电量划分为三档：月用电量不超过150度，按0.6元/度收费，超过150度但不超过250度的部分每度加价0.1元，超过250度的部分每度再加价0.3元收费.
（1）求该边远山区某户居民月用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；
（2）已知该边远山区贫困户的月用电量（单位：度）与该户长期居住的人口数（单位：人）间近似地满足线性相关关系：
（
的值精确到整数），其数据如表：
现政府为减轻贫困家庭的经济负担，计划对该边远山区的贫困家庭进行一定的经济补偿，给出两种补偿方案供选择：一是根据该家庭人数，每人每户月补偿6元；二是根据用电量每人每月补偿
（为用电量）元，请根据家庭人数分析，一个贫困家庭选择哪种补偿方式可以获得更多的补偿？
附：回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
.
参考数据：
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（1）求该边远山区某户居民月用电费用
（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）已知该边远山区贫困户的月用电量
（单位：度）与该户长期居住的人口数（单位：人）间近似地满足线性相关关系：（的值精确到整数），其数据如表：
| 14 | 15 | 17 | 18 |
| 161 | 168 | 191 | 200 |
（为用电量）元，请根据家庭人数分析，一个贫困家庭选择哪种补偿方式可以获得更多的补偿？附：回归直线
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：
，，，，，，，，.
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2018-07-15更新
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230次组卷
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2卷引用：【全国市级联考】山东省德州市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题
解题方法
5 . 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展.以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：
（1）某位同学根据以上数据和散点图，得出与的销售（万辆）两种回归模型①，②
，请判断哪一种模型更适宜？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).
（3）我们可以用来刻画模型的拟合效果，越接近于1，表示回归的效果越好，现由散点图的样本点分布，也可以认为样本点集中在曲线
的附近，用非线性回归模型求得关于的回归方程为
，且
.试与（2）中所求的回归模型比较，请用说明哪种模型的拟合效果更好.
附：最小二乘估计公式：
，
参考数据（下面的
，
）
，
，
，
，
| 年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| 分年代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 某新能源车年销量（万辆） | 1.5 | 5.9 | 17.7 | 32.9 | 55.6 |
（1）某位同学根据以上数据和散点图，得出
与的销售（万辆）两种回归模型①，②，请判断哪一种模型更适宜？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立
关于的回归方程，并预测2020年我国某新能源采用车的销售量(精确到0.1).（3）我们可以用
来刻画模型的拟合效果，越接近于1，表示回归的效果越好，现由散点图的样本点分布，也可以认为样本点集中在曲线的附近，用非线性回归模型求得关于的回归方程为，且.试与（2）中所求的回归模型比较，请用说明哪种模型的拟合效果更好.附：最小二乘估计公式：
，参考数据（下面的
，），，，，
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名校
6 . 2023年“十一”长假期间，某商场的一些店铺纷纷加大了促销力度. 现随机抽取7家店铺，得到其广告促销支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）数据如下：
(1)建立关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01），并预测当促销支出为30万元时，销售额为多少万元；
(2)若将店铺的销售额与促销支出的比值称为该店铺的促销效率值
，当
时，称该店铺的促销手段为“金牌方案”，从这7家店铺中随机抽取4家，记这4家店铺中“金牌方案”的店铺数为X，求X的分布列与期望.
注：参考数据
，
，回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
（单位：万元）与销售额（单位：万元）数据如下：店铺 | A | B | C | D | E | F | G |
广告支出/万元 | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 | 13 | 20 |
销售额/万元 | 19 | 32 | 44 | 40 | 52 | 53 | 54 |
关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01），并预测当促销支出为30万元时，销售额为多少万元；(2)若将店铺的销售额
与促销支出的比值称为该店铺的促销效率值，当时，称该店铺的促销手段为“金牌方案”，从这7家店铺中随机抽取4家，记这4家店铺中“金牌方案”的店铺数为X，求X的分布列与期望.注：参考数据
，，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
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解题方法
7 . 教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示．
根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数）
附：线性回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，，相关系数
，
.
| 时间 | 5月22~31日 | 6月1~10日 | 6月11~20日 | 6月21~30日 | 7月1~10日 | 7月11~20日 | 7月21~30日 |
| 时间代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 销量/千件 | 9.4 | 9.6 | 9.9 | 10.1 | 10.6 | 11.1 | 11.4 |
附：线性回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，.
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8 . 如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某宝电商分析了近8年“双十一”期间的宣传费用x（单位：万元）和利润y（单位：十万元）之间的关系，得到下表数据：
请回答：
(1)由表中数据，求线性回归方程
，并预测当
时，对应的利润
为多少？（，
，精确到0.1）
(2)为了更好地完成任务，某宝电商决定让宣传部门的3名成员各自制定两个方案，从中任选2个方案进行宣传，求这2个方案出自同一个人的概率.
附参考公式：回归方程中，和的最小二乘估计分别为
，.
参考数据：
，
.
| x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 |
| y | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
(1)由表中数据，求线性回归方程
，并预测当时，对应的利润为多少？（，，精确到0.1）(2)为了更好地完成任务，某宝电商决定让宣传部门的3名成员各自制定两个方案，从中任选2个方案进行宣传，求这2个方案出自同一个人的概率.
附参考公式：回归方程
中，和的最小二乘估计分别为，.参考数据：
，.
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解题方法
9 . 某企业拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研，得到科技升级投入（亿元）与科技升级直接收益（亿元）的数据统计如下：
根据表格中的数据，当
时，建立了与的两个回归模型：模型①：
；模型②：
；当 
时，确定与满足的线性回归方程为
.
(1)根据下列表格中的数据，比较当 时，模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；
（附：刻画回归效果的相关指数
）
(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于
亿元时，国家给予公司补贴
亿元，比较根据市场调研科技升级投入
亿元直接收益与投入亿元时科技升级实际收益的预测值的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数：
）
(3)科技升级后，芯片的效率
大幅提高，经实际试验得大致服从正态分布
.公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过
，不予奖励；若芯片的效率超过，但不超过
，每部芯片奖励
元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励
元，记
为每部芯片获得的奖励额，求
（精确到
）.
（附：若随机变量
，
，
.）
（亿元）与科技升级直接收益（亿元）的数据统计如下： 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
| 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 62 | 63 | 65 |
时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当 时，确定与满足的线性回归方程为.(1)根据下列表格中的数据，比较当
时，模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
|
|
|
）(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于
亿元时，国家给予公司补贴亿元，比较根据市场调研科技升级投入亿元直接收益与投入亿元时科技升级实际收益的预测值的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数：）(3)科技升级后，芯片的效率
大幅提高，经实际试验得大致服从正态分布.公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过，不予奖励；若芯片的效率超过，但不超过，每部芯片奖励元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励元，记为每部芯片获得的奖励额，求（精确到）. （附：若随机变量
，，.）
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名校
解题方法
10 . 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表和散点图.
(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①和②
两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）
(2)根据下表中数据，用相关指数（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
参考公式及数据：
，，
，
，
.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 0.5 | 1 | 1.5 | 3 | 6 | 12 |
 | -0.7 | 0 | 0.4 | 1.1 | 1.8 | 2.5 |
(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①
和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；（注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数）(2)根据下表中数据，用相关指数
（不必计算，只比较大小）比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？| 经验回归方程 残差平方和 | | |
 | 18.29 | 0.65 |
，，，，.
您最近半年使用：0次
2023-03-10更新
|
2795次组卷
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6卷引用：广东省江门市2023届高三一模数学试题
广东省江门市2023届高三一模数学试题专题24计数原理与概率与统计（解答题）湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）模块一 专题3 计数原理、统计B提升卷专题16回归分析（已下线）第5讲：成对数据的统计分析（非线性回归）【练】
