1 . 某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程.
(2)为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
(3)将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
②参考数据：，，，.

3 . 9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.

(1)求这9个生产总值中超过其平均值的概率；
(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.
（附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.）

5 . 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各4投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

广告投入（单位：万元）	1	2	3	4	5
销售收益（单位：万元）	2	3	2		7

表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

6 . 为迎接年北京冬奥会，践行“更快、更高、更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略．某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高．
(1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据这个散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的回归方程（系数和的最终结果精确到），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至人以下？

月份	1	2	3	4	5	6
体重超标人数	99	77	54	48	32	27
	4.58	4.34	3.98	3.87	3.46	3.29

(2)在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A、B、C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：

控球队员	A		B		C
接球队员	B	C	A	C	A	B
概率

若传球次，B队员控球次数的期望值C队员控球次数的期望值的两倍，求实数的值．
附：线性回归方程： 中，，；
参考数据：，，，．

7 . 某企业统计了近5年的年销售额（百万元）与年份相关数据，如下表：

年份	2017	2018	2019	2020	2021
年销售额（单位：百万元）	76	83	89	95	100

(1)依据表中的统计数据，求年销售额关于年份的回归直线方程；（参考数据：）
(2)该企业为促进销售量提升，采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订13千件订单的概率为，签订15千件订单的概率为；若单价定为90元，则签订15千件订单的概率为，签订16千件订单的概率为.已知每件产品的成本元，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.
附：回归直线方程的斜率，截距.

8 . 【阅读材料1】
我们在研究两个变量之间的相关关系时，往往先选取若干个样本点（），（），……，（），将样本点画在平面直角坐标系内，就得到样本的散点图.观察散点图，如果所有样本点都落在某一条直线附近，变量之间就具有线性相关关系，如果所有的样本点都落在某一非线性函数图象附近，变量之间就有非线性相关关系.在统计学中经常选择线性或非线性（函数）回归模型来刻画相关关系，并且可以用适当的方法求出回归模型的方程，还常用相关指数R²来刻画回归的效果，相关指数R²的计算公式为：
当R²越大时，回归方程的拟合效果越好；当R²越小时，回归方程的拟合效果越差，R²是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R²较大的回归模型.
【阅读材料2】
2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪胺3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
y	15	22	27	40	48	54	60	68.5	68	67.5	66	65

当0<x≤13时，建立了与的两个回归模型：
模型①:；模型②:；
当x>13时，确定y与x满足的线性回归直线方程为.
根据以上阅读材料，解答以下问题：
(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x≤13时模型①，②的相关指数R²的大小，并选择拟合效果更好的模型.

回归模型	模型①	模型②
回归方程
	79.13	20.2

(2)当应用改造的投入为20亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少.
附：①若最小二乘法求得回归直线方程为，则；
②
③，当时，.

10 . 设两个相关变量和分别满足，，，2，…，6，若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（       ）

A．32

B．63

C．64

D．128