1 . 某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一1000名学生选择各个模块扇形统计图．已知该校学生选择物理类男女比例为
，选择历史类男女比例为
．
(1)完成
列联表，并判断能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？
(2)从该校选择物理类学生中按照分层抽样从物化生、物化政、物化地模块中抽取15人，再从这15人中随机抽取2人参加物理知识趣味问答比赛，用X表示被抽到选择物化地模块的学生人数，求X的分布列及数学期望．
附：
．
，选择历史类男女比例为．
男生 | 女生 | 合计 | |
物理类 | |||
历史类 | |||
合计 | 1000 |
(1)完成
列联表，并判断能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”？(2)从该校选择物理类学生中按照分层抽样从物化生、物化政、物化地模块中抽取15人，再从这15人中随机抽取2人参加物理知识趣味问答比赛，用X表示被抽到选择物化地模块的学生人数，求X的分布列及数学期望．
附：
．
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
2 . 冬季是某种流行疾病的高发季，为了检测预防这种疾病疫苗的免疫效果，对200名志愿者注射该疫苗，一段时间后，统计了这200名志愿者的年龄
（单位：岁），并测量他们血液中的抗体医学指标
．现作出
的散点图，如下：
岁的志愿者中抗体医学指标
的有64人，
的有24人；年龄
岁的志愿者中抗体医学指标的有32人，的有80人．
(1)请完成下面的列联表，并根据小概率值
的独立性检验，判断能否认为抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关．
(2)对数据初步处理后计算得
的方差分别为40.5，162，
关于
的经验回归方程为
，且其样本相关系数
，求
的值．若一名65岁的志愿者注射该疫苗，经过和200名志愿者注射后相同长度的一段时间后，预测这名志愿者的抗体医学指标值．
参考公式：
（其中
）．
经验回归方程为
，其中
，变量与变量的样本相关系数
．
（单位：岁），并测量他们血液中的抗体医学指标．现作出的散点图，如下：
岁的志愿者中抗体医学指标的有64人，的有24人；年龄岁的志愿者中抗体医学指标的有32人，的有80人．(1)请完成下面的
列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为抗体医学指标不小于80与年龄不小于50岁有关．抗体医学指标 | 年龄 | 合计 | |
|
| ||
| |||
| |||
合计 | |||
(2)对数据初步处理后计算得
的方差分别为40.5，162，关于的经验回归方程为，且其样本相关系数，求的值．若一名65岁的志愿者注射该疫苗，经过和200名志愿者注射后相同长度的一段时间后，预测这名志愿者的抗体医学指标值．参考公式：
（其中）．
| 0.1 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中，变量与变量的样本相关系数．
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解题方法
3 . 某果农为了解施农家肥与化肥对苹果的大小是否有影响，现将自己所种植的苹果地合理分成两块，并对
地连续施用三年农家肥，对
地连续施用三年化肥.在第三年苹果采摘后，分别从
两地的苹果中各抽取200个进行测量，其中地的大果（
以上）为50个，中果
为110个，小果（
以下）为40个；地的大果为40个，中果为110个，小果为50个.
(1)根据以上数据，补全以下列联表，试根据小概率值
的独立性检验，分析施肥的不同对苹果树结小果数是否有影响.
(2)现有苹果客商收购苹果，大果价格8元
，中果6.5元，小果3元.客商对该果农的苹果质量进行评估：大果约
个，中果约
个，小果约
个.假设两地的果树数之比为，且每棵果树结果数相等.该客商为节约时间，对该果农的苹果统一定价为6.5元.视频率为概率，用样本估计总体，请你为该果农出主意是否接受客商所给的价格，并给出解释.
参考公式及参考数据：
，其中.
地连续施用三年农家肥，对地连续施用三年化肥.在第三年苹果采摘后，分别从两地的苹果中各抽取200个进行测量，其中地的大果（以上）为50个，中果为110个，小果（以下）为40个；地的大果为40个，中果为110个，小果为50个.(1)根据以上数据，补全以下列联表，试根据小概率值
的独立性检验，分析施肥的不同对苹果树结小果数是否有影响.| 苹果地 | 大小情况 | 合计 | |
| 非小果 | 小果 | ||
| 地 | |||
| 地 | |||
| 合计 | |||
，中果6.5元，小果3元.客商对该果农的苹果质量进行评估：大果约个，中果约个，小果约个.假设两地的果树数之比为，且每棵果树结果数相等.该客商为节约时间，对该果农的苹果统一定价为6.5元.视频率为概率，用样本估计总体，请你为该果农出主意是否接受客商所给的价格，并给出解释.参考公式及参考数据：
，其中. | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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名校
4 . 近两年来，自行车的市场占有率在不断提升，随着人们的健康意识不断增强，骑自行车不仅仅是人们出行的交通方式，也渐渐成为一种新颖的运动，越来越多的人加入了骑行一族．在某地区随机调查了100位自行车骑行者的年龄分布情况，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)数据显示，该地区年龄在
岁内的人口占比为12%，该地区自行车骑行率约为13%，从该地区任选一人，已知此人年龄在内，求此人是自行车骑行者的概率；
(2)对这100位自行车骑行者进行统计，骑行频率
次/周的共有70人，其中年龄在40岁以下的占80%．请完成以下列联表，并根据小概率值
的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联．
年龄
附：
，其中．
(1)数据显示，该地区年龄在
岁内的人口占比为12%，该地区自行车骑行率约为13%，从该地区任选一人，已知此人年龄在内，求此人是自行车骑行者的概率；(2)对这100位自行车骑行者进行统计，骑行频率
次/周的共有70人，其中年龄在40岁以下的占80%．请完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断骑行频率与年龄是否有关联．年龄
| 骑行频率 | 年龄 | 合计 | |
 岁 |  岁 | ||
 次/周 | |||
| 次/周 | |||
| 合计 | |||
，其中． | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
5 . 2023年10月期间，某黄梅戏剧院共开播了5场精彩演出，观看人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
(1)已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
(2)若该剧院分A，B，C三个等次的票价，某机构随机调查了该剧院200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有
的把握认为该剧院的观众是否购买等票与性别有关．
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
，
．
，其中．
场次 | 第1场 | 第2场 | 第3场 | 第4场 | 第5场 |
场次编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
观看人数 | 0.7 | 0.8 | 1 | 1.2 | 1.3 |
与的关系，请建立关于的线性回归方程；(2)若该剧院分A，B，C三个等次的票价，某机构随机调查了该剧院200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将
列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该剧院的观众是否购买等票与性别有关．购买 | 购买非 | 总计 | |
男性观众 | 50 | ||
女性观众 | 60 | ||
总计 | 100 | 200 |
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，．，其中．
| 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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解题方法
6 . 目前，大多省份的教师资格证的考证规定是：考试分为笔试和面试两项，笔试需要考两门或三门科目，只有笔试科目全部合格且在有效期（2年）内才能参加面试，笔试和面试都合格后就可以取得教师资格证．当次笔试科目或面试不合格的，可以继续报名参加下次的笔试或面试，直至在已合格科目有效期内笔试科目及面试全部合格．每年共安排两次考试，分为上半年的笔试与面试，下半年的笔试与面试．
(1)小王从师范大学毕业后，准备参加教师资格证考试．已知小王参加的笔试科目有三门，且每门科目合格的概率都是
，参加面试合格的概率为
．笔试的每门科目及面试都是相互独立的．若小王在2023年上半年报名参加教师资格证考试，求小王到2023年年底能取得教师资格证的概率．
(2)某机构抽取参加考前辅导和未参加考前辅导的考生各60名作为样本，已知其中参加考前辅导的考生中面试合格的占比为
，面试合格的考生中参加考前辅导的占比为
．请填写下面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断面试合格与参加考前辅导有关？
附：
，．
(1)小王从师范大学毕业后，准备参加教师资格证考试．已知小王参加的笔试科目有三门，且每门科目合格的概率都是
，参加面试合格的概率为．笔试的每门科目及面试都是相互独立的．若小王在2023年上半年报名参加教师资格证考试，求小王到2023年年底能取得教师资格证的概率．(2)某机构抽取参加考前辅导和未参加考前辅导的考生各60名作为样本，已知其中参加考前辅导的考生中面试合格的占比为
，面试合格的考生中参加考前辅导的占比为．请填写下面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断面试合格与参加考前辅导有关？面试合格 | 面试不合格 | 合计 | |
参加考前辅导 | |||
未参加考前辅导 | |||
合计 |
，．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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7 . 为检验治疗某种疾病的特效药物的临床疗效，某机构将患有这种疾病的400名志愿者随机分成两组，每组200人，一组用特效药物进行一个疗程的治疗，另一组用普通药物进行一个疗程的治疗．通过这400名志愿者的某项指标的大小(均在[0，160])衡量该药物的疗效，结果如下表：
医学上认为若这项指标不小于80，则认为治疗效果显著，否则认为治疗效果不显著．
(1)完成下面的2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断能否认为特效药物的疗效比普通药物的疗效好．
(2)为检验特效药物的临床疗效，对用特效药物治疗了一个疗程且效果不显著的志愿者进行第二疗程的治疗，此时每名志愿者疗效显著的概率为．每名志愿者最多使用两个疗程的特效药物，用频率估计概率，并回答问题：
①求一名志愿者最多使用两个疗程的特效药物后疗效显著的概率；
②现有100名这种疾病的患者采用特效药物进行治疗，设最多两个疗程治疗后疗效显著的人数为
，求
．
参考公式：(其中)．
某项指标的大小 |
|
|
|
|
使用特效药物的人数 | 20 | 30 | 100 | 50 |
使用普通药物的人数 | 40 | 60 | 70 | 30 |
(1)完成下面的2×2列联表，并根据小概率值
的独立性检验，判断能否认为特效药物的疗效比普通药物的疗效好．效果显著 | 效果不显著 | 合计 | |
特效药物 | |||
普通药物 | |||
合计 |
．每名志愿者最多使用两个疗程的特效药物，用频率估计概率，并回答问题：①求一名志愿者最多使用两个疗程的特效药物后疗效显著的概率；
②现有100名这种疾病的患者采用特效药物进行治疗，设最多两个疗程治疗后疗效显著的人数为
，求．参考公式：
(其中)．α | 0.1 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
8 . 为普及音乐知识、发现和推出声乐人才、引领和推动声乐事业繁荣发展、弘扬民族艺术，某歌唱大赛邀请非专业评委
人与专业评委
人对选手的歌唱表现进行评分，已知某选手的成绩（单位：分）均在
内，将名非专业评委的评分制成频率分布直方图，将名专业评委的评分制成茎叶图，如图所示，已知这位专业评委的评分成绩的平均值为
．
(1)根据茎叶图计算专业评委评分的中位数．
(2)若评委评分不低于
分，则将该评委称为“欣赏型”评委；若评委评分低于分，则将该评委称为非“欣赏型”评委．完成如下列联表，并判断能否有
的把握认为评委是否为“欣赏型”评委与是否为专业评委有关？
附：
．
人与专业评委人对选手的歌唱表现进行评分，已知某选手的成绩（单位：分）均在内，将名非专业评委的评分制成频率分布直方图，将名专业评委的评分制成茎叶图，如图所示，已知这位专业评委的评分成绩的平均值为．(1)根据茎叶图计算专业评委评分的中位数．
(2)若评委评分不低于
分，则将该评委称为“欣赏型”评委；若评委评分低于分，则将该评委称为非“欣赏型”评委．完成如下列联表，并判断能否有的把握认为评委是否为“欣赏型”评委与是否为专业评委有关？| 非专业评委 | 专业评委 | 合计 | |
| “欣赏型”评委 | |||
| 非“欣赏型”评委 | |||
| 合计 |
． |  |  |  |
 |  |  |  |
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解题方法
9 . 杭州第19届亚运会又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．某高校部分学生十分关注杭州亚运会赛事的发展，若将累计关注杭州亚运会赛事的消息50次及以上者称为“亚运会达人”，未达到50次者称为“非亚运会达人”．现从该校随机抽取100名学生进行分析，得到数据如表所示．
已知从样本“亚运会达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男女比例是
．
(1)根据已知条件，求表中a，b，c，d，m，n的值；
(2)通过计算判断是否有
的把握认为该校学生是否为“亚运会达人”与性别有关．
附：．
亚运会达人 | 非亚运会达人 | 合计 | |
男生 | 40 |
|
|
女生 |
|
| 44 |
合计 |
|
| 100 |
．(1)根据已知条件，求表中a，b，c，d，m，n的值；
(2)通过计算判断是否有
的把握认为该校学生是否为“亚运会达人”与性别有关．附：
．
| 0.050 | 0.010 | 0.005 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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名校
解题方法
10 . 2023年4月，我国航天领域首个大科学装置“地面空间站”正在开展联合调试试运行工作，部分装置已经在为用户提供科研服务，预计2023年底整体工程完成验收．这标志着我国航天领域又新增一个大国重器，这对于我国航天事业和空间科学探测能力的提升将起到重要支撑作用．为了研究大学生对我国航天领域的了解程度，增强学生热爱科学的意识，某高校组织了一次有关航天领域的知识竞赛（满分100分），共有100名大学生参赛，对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，记成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”，得到如下未填写完整的列联表．
(1)当
时，若从这100名参赛学生中抽出2人参加航天志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均为“良好”的概率；
(2)若有以上的把握认为大学生对航天领域的了解程度与性别有关，且
，求
，
的值．
附：
．
列联表．良好 | 不良好 | 合计 | |
男生 |
| 20 | |
女生 | 20 |
| |
合计 | 100 |
(1)当
时，若从这100名参赛学生中抽出2人参加航天志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均为“良好”的概率；(2)若有
以上的把握认为大学生对航天领域的了解程度与性别有关，且，求，的值．附：
．
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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