1 . 乒乓球被称为中国的“国球”．甲、乙两位乒乓球爱好者决定进行一场友谊赛，制定如下比赛规则：比赛分两天进行，每天实行三局两胜制，即先赢两局者获得该天的胜利．若两天比赛中一方连续胜利，则该方获得胜利；若两天比赛中双方各胜一天，则第三天加赛一局，一局定胜负．设每局比赛甲获胜的概率为，各局比赛相互独立，没有平局．
(1)当时，求第一天比赛甲获胜的概率；
(2)记比赛结束时的总局数为，当时，求随机变量的分布列和数学期望．

2 . 2022年4月16日9时56分，在太空遨游半年的神舟十三号飞船在东风着陆场成功着陆，这标志着中国空间站关键技术验证阶段的最后一次飞行任务取得圆满成功．为了让师生关注中国航天事业发展，某校组织航天知识竞赛活动，比赛共25道必答题，答对一题得4分，答错一题倒扣2分，学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响．
(1)求甲前3题得分之和大于0的概率；
(2)设甲的总得分为，求．

3 . 为了鼓励师生积极参与体育运动，某校举办运动会并设置了丰厚的奖励，甲同学报名参加了羽毛球和长跑比赛．甲在羽毛球比赛中顺利晋级到了决赛，决赛采用“五局三胜制”，先获胜三局的选手即获得冠军，甲在每局中获胜的概率均为，各局胜负相互独立．
(1)求甲获得羽毛球比赛冠军的概率
(2)长跑比赛紧接在羽毛球决赛后进行，由于连续比赛，体力受到影响，若羽毛球决赛局打3就结束，则甲在长跑比赛中有的概率跑进前十名，若羽毛球决赛局数大于3，则甲在长跑比赛中不可能跑进前十名．已知羽毛球比赛冠军奖金是300元，亚军奖金是100元，长跑比赛跑进前十名就获得100元奖金，没有其他奖项，求甲在这两项比赛中获得的奖金总额X（单位：元）的分布列．

4 . 2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在亿万国人逐渐高涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲一起制作了简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为A，B，C，D.小明每次投掷都能使得冰壶进入得分区，若每次投掷后冰壶进入A，B，C，D区的概率分别为0.01，0.1，0.3，0.59，小明投掷两个冰壶，两次投掷互不影响，则有一个冰壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或D区的概率为（       ）

A．1

B．0.2139

C．0.4278

D．0.1958

5 . 甲、乙两位同学参加一个答题比赛，每人依次回答3个问题，已知甲同学答对第一个、第二个、第三个问题的概率分别为，，，乙同学答对每个问题的概率均为，且甲乙两人答题相互独立．
(1)求甲同学至多答对1个问题的概率；
(2)已知前两个问题每个10分，第三个问题20分，回答正确得到相应分数，回答错误不得分，比较甲、乙两位同学比赛得分的数学期望的大小．