1 . 2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一．某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立．
(1)根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测：若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将55位居民分成11组，每组5人；
方案二：将55位居民分成5组，每组11人；
试分析哪一个方案的工作量更少？
(2)假设该疾病患病的概率是，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为，已知这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
（参考数据：）

2 . （1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？
（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占35%，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

3 . 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：

等级	不合格		合格
得分
频数	6	a	24	b

（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；
（2）其他条件不变在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；
（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望.

4 . 一袋中共有个大小相同的黑球个和白球个．
(1) 若从袋中任意摸出个球，求至少有个白球的概率.．
(2)现从中不放回地取球，每次取个球，取次，已知第次取得白球，求第次取得黑球的概率．

5 . 小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：个黑球2个红球；个红球；恰有1个白球；恰有2个白球；个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.
（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）；
（2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
（3）设顾客抽一次奖小张获利元，求变量的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求的最大值.

6 . 盒子中有大小和形状完全相同的个红球、个白球和个黑球，从中不放回地依次抽取个球.
(1)求在第次抽到红球的条件下，第次又抽到红球的概率；
(2)若抽到个红球记分，抽到个白球记分，抽到个黑球记分，设得分为随机变量，求随机变量的分布列.

7 . 深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

	球队胜	球队负	总计
甲参加
甲未参加
总计

(1)求、、、、的值，据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：、、、，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：、、、.则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：.

8 . 2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求的值;
(2)若一次抽取4个城市,则:
①假设取出小城市的个数为,求的分布列和期望;
②取出4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.

9 . 某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动，凡购物满100元可抽奖一次，满200元可抽奖两次…依此类推．抽奖箱中有7个白球和3个红球，其中3个红球上分别标有10元，10元，20元字样．每次抽奖要从抽奖箱中有放回地任摸一个球，若摸到红球，根据球上标注金额奖励现金；若摸到白球，没有任何奖励．
(1)一次抽奖中，已知摸中了红球，求获得20元奖励的概率；
(2)小明有两次抽奖机会，用表示他两次抽奖获得的现金总额，写出的分布列与数学期望．

10 . 某理科考生参加自主招生面试，从道题中（道甲组题和道乙组题）不放回地依次任取道作答.
（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；
（2）规定理科考生需作答道甲组题和道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为，答对乙组题的概率均为，若每题答对得分，否则得零分.现该生已抽到道题（道甲组题和道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.