23-24高二下·湖南长沙·阶段练习
名校
解题方法
1 . 某商城进行促销活动,购买某产品的顾客可以参加一次游戏:在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个,顾客从中有放回地取出小球,直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球.设顾客停止取球时,取过的小球次数为,
(1)求;
(2)设,数列,求的通项公式;
(3)顾客停止取球时,取过的小球次数为,顾客可以获得对应的元奖金,其中,求证:.
(1)求;
(2)设,数列,求的通项公式;
(3)顾客停止取球时,取过的小球次数为,顾客可以获得对应的元奖金,其中,求证:.
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2024·山东潍坊·一模
名校
解题方法
2 . 若,是样本空间上的两个离散型随机变量,则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量.设的一切可能取值为,,记表示在中出现的概率,其中.
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为,2号盒子中的小球个数为,则是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值;
②若是①中的值,求(结果用,表示);
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律,求证:.
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记1号盒子中的小球个数为,2号盒子中的小球个数为,则是一个二维随机变量.
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值;
②若是①中的值,求(结果用,表示);
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律,求证:.
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2024-03-29更新
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1952次组卷
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4卷引用:专题11 统计与概率(分层练)
2024·福建漳州·三模
名校
解题方法
3 . 某汽车厂商生产某型号具有自动驾驶功能的汽车,该型号汽车配备两个相互独立的自动驾驶系统(记为系统和系统),该型号汽车启动自动驾驶功能后,先启动这两个自动驾驶系统中的一个,若一个出现故障则自动切换到另一个系统.为了确定先启动哪一个系统,进行如下试验:每一轮对系统和分别进行测试试验,一轮的测试结果得出后,再安排下一轮试验.当一个系统出现故障的次数比另一个系统少2次时,就停止试验,并认为出现故障少的系统比另一个系统更稳定.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若系统不出现故障且系统出现故障,则系统得1分,系统得-1分;若系统出现故障且系统不出现故障,则系统得-1分,系统得1分;若两个系统都不出现故障或都出现故障,则两个系统均得0分.系统出现故障的概率分别记为和,一轮试验中系统的得分为分.
(1)求的分布列;
(2)若系统和在试验开始时都赋予2分,表示“系统的累计得分为时,最终认为系统比系统更稳定”的概率,则,,其中.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统,若,则先启动系统;若,则先启动系统;若,则随机启动两个系统中的一个,且先启动系统的概率为.
①证明:;
②若,由①可求得,求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.
(1)求的分布列;
(2)若系统和在试验开始时都赋予2分,表示“系统的累计得分为时,最终认为系统比系统更稳定”的概率,则,,其中.现根据的值来决定该型号汽车启动自动驾驶功能后先启动哪个系统,若,则先启动系统;若,则先启动系统;若,则随机启动两个系统中的一个,且先启动系统的概率为.
①证明:;
②若,由①可求得,求该型号汽车启动自动驾驶功能后无需自动切换到另一个自动驾驶系统的概率.
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2024-05-23更新
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484次组卷
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3卷引用:情境11 结论已知的证明命题
23-24高三上·河北邢台·期末
名校
4 . 杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”,“琮琮”,“莲莲”,聚焦共同的文化基因,蕴含独特的城市元素.本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情.某体能训练营为了激励参训队员,在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动,他们来到一处训练场地,恰有20步台阶,现有一枚质地均匀的骰子,游戏规则如下:掷一次骰子,出现3的倍数,则往上爬两步台阶,否则爬一步台阶,再重复以上步骤,当队员到达第7或第8步台阶时,游戏结束.规定:到达第7步台阶,认定失败;到达第8步台阶可赢得一组吉祥物.假设平地记为第0步台阶.记队员到达第步台阶的概率为(),记.
(1)投掷4次后,队员站在的台阶数为第阶,求的分布列;
(2)①求证:数列()是等比数列;
②求队员赢得吉祥物的概率.
(1)投掷4次后,队员站在的台阶数为第阶,求的分布列;
(2)①求证:数列()是等比数列;
②求队员赢得吉祥物的概率.
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2024-01-19更新
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1992次组卷
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10卷引用:考点16 几类特殊的数列模型 2024届高考数学考点总动员
(已下线)考点16 几类特殊的数列模型 2024届高考数学考点总动员(已下线)第5讲:数列模型的应用【练】(已下线)第4讲:概率与数列的结合问题【讲】(已下线)模块八 概率与统计(测试)(已下线)题型27 5类概率统计大题综合解题技巧河北省邢台市2024届高三上学期期末调研数学试题(已下线)专题19 离散型随机变量及其分布列11种常见考法归类(4)广东省中山市第一中学2024届高三第二次调研数学试题河北省沧州市泊头市第一中学等校2024届高三上学期模拟训练(九)(2月联考)数学试题山西省山西大学附属中学校2024届高三下学期第一次月考数学试题
名校
5 . 根据《国家学生体质健康标准》,高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:cm):
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学,将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到):
假设用频率估计概率,且每个同学的测试成绩相互独立.
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;
(2)从该校全体高三男生中随机抽取人,全体高三女生中随机抽取人,设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数,估计的数学期望;
(3)从该校全体高三女生中随机抽取人,设“这人的立定跳远单项既有优秀,又有其它等级”为事件,“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件.判断与是否相互独立.(结论不要求证明)
立定跳远单项等级 | 高三男生 | 高三女生 |
优秀 | 及以上 | 及以上 |
良好 | ~ | ~ |
及格 | ~ | ~ |
不及格 | 及以下 | 及以下 |
男生 | ||||||||||||
女生 |
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率;
(2)从该校全体高三男生中随机抽取人,全体高三女生中随机抽取人,设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数,估计的数学期望;
(3)从该校全体高三女生中随机抽取人,设“这人的立定跳远单项既有优秀,又有其它等级”为事件,“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件.判断与是否相互独立.(结论不要求证明)
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2023·山东青岛·三模
名校
解题方法
6 . 甲、乙两人组团参加答题挑战赛,规定:每一轮甲、乙各答一道题,若两人都答对,该团队得1分;只有一人答对,该团队得0分;两人都答错,该团队得-1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为,.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分,求X的分布列及数学期望;
(2)假设该团队连续答题n轮,各轮答题相互独立.记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率,,求a,b,c;并证明:答题轮数越多(轮数不少于3),出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分,求X的分布列及数学期望;
(2)假设该团队连续答题n轮,各轮答题相互独立.记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率,,求a,b,c;并证明:答题轮数越多(轮数不少于3),出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
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2023-05-25更新
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2583次组卷
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5卷引用:微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程(数列与概率结合)
(已下线)微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程(数列与概率结合)(已下线)专题04 概率统计大题山东省青岛市2023届高三三模数学试题湖北省黄冈市浠水县第一中学2023届高三下学期5月三模数学试题河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第五次适应性考试数学试题
19-20高三上·河南·阶段练习
名校
解题方法
7 . 一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘上标有第站、第站、第站、、第站,共站,设棋子跳到第站的概率为,一枚棋子开始在第站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次.若掷出奇数点,棋子向前跳一站;若掷出偶数点,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第站(获胜)或第站(失败)时,游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具,它的六个面分别标有点数、、、、、).
(1)求、、,并根据棋子跳到第站的情况,试用和表示;
(2)求证:为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
(1)求、、,并根据棋子跳到第站的情况,试用和表示;
(2)求证:为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
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2023-05-23更新
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575次组卷
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9卷引用:专题05 等差数列和等比数列的证明问题(第二篇)-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖
(已下线)专题05 等差数列和等比数列的证明问题(第二篇)-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖(已下线)类型四 概率与统计的创新问题-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型+重难题型突破(新高考专用)(已下线)专题17 概率与统计的创新题型(已下线)第三篇 数列、排列与组合 专题1 建立递推关系求通项公式 微点2 建立递推关系求通项公式综合训练河南省名校联盟2019-2020学年高三11月教学质量检测数学(理)试题2020届山西省大同市第一中学高三2月模拟(一)数学(理)试题2020届华大新高考联盟高三11月教学质量测评理科数学试题陕西师范大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中理科数学试题(已下线)模块二 专题5 概率中的创新问题
2023·全国·三模
名校
解题方法
8 . 国学小组有编号为1,2,3,…,的位同学,现在有两个选择题,每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为,每个同学的答题过程都是相互独立的,比赛规则如下:①按编号由小到大的顺序依次进行,第1号同学开始第1轮出赛,先答第一题;②若第号同学未答对第一题,则第轮比赛失败,由第号同学继继续比赛;③若第号同学答对第一题,则再答第二题,若该生答对第二题,则比赛在第轮结束;若该生未答对第二题,则第轮比赛失败,由第号同学继续答第二题,且以后比赛的同学不答第一题;④若比赛进行到了第轮,则不管第号同学答题情况,比赛结束.
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束,当时,求随机变量的分布列;
(2)若把比赛规则③改为:若第号同学未答对第二题,则第轮比赛失败,第号同学重新从第一题开始作答.令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束.
①求随机变量的分布列;
②证明:单调递增,且小于3.
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束,当时,求随机变量的分布列;
(2)若把比赛规则③改为:若第号同学未答对第二题,则第轮比赛失败,第号同学重新从第一题开始作答.令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束.
①求随机变量的分布列;
②证明:单调递增,且小于3.
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2023-04-13更新
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4387次组卷
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9卷引用:模块四 专题5 概率与统计
(已下线)模块四 专题5 概率与统计(已下线)押新高考第19题 概率统计(已下线)专题8-2分布列综合归类-2东北三省四市教研联合体2023届高三一模数学试题吉林省长春市2023届高三三模数学试题辽宁省大连市2023届高三一模数学试题安徽省滁州市定远县育才学校2023届高考冲刺数学试卷(三)江苏省苏州工业园区星海实验中学2022-2023学年高二下学期5月阶段检测数学试题云南省曲靖市第二中学2023届高三二模预测数学试题
9 . 某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况,从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈.在整理访谈结果的过程中,统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识,得到的部分数据如下表所示:
假设用频率估计概率,且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立.
(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数;
(2)现按性别进行分层抽样,从该地区抽取了5名教师,求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率;
(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分:“没有帮助”记0分,“有一些帮助”记2分,“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分,将这100名教师得分的平均值记为,其中年龄在40岁以下(含40岁)教师得分的平均值记为,年龄在40岁以上教师得分的平均值记为,请直接写出的大小关系.(结论不要求证明)
假设用频率估计概率,且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立.
(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数;
(2)现按性别进行分层抽样,从该地区抽取了5名教师,求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率;
(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分:“没有帮助”记0分,“有一些帮助”记2分,“很有帮助”记4分.统计受访教师的得分,将这100名教师得分的平均值记为,其中年龄在40岁以下(含40岁)教师得分的平均值记为,年龄在40岁以上教师得分的平均值记为,请直接写出的大小关系.(结论不要求证明)
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2023·湖南长沙·三模
名校
10 . 甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛,采用局胜制的比赛规则,即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,比赛结束时,甲最终获胜的概率为.
(1)若,结束比赛时,比赛的局数为,求的分布列与数学期望;
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利,即.
(i)求的取值范围;
(ii)证明数列单调递增,并根据你的理解说明该结论的实际含义.
(1)若,结束比赛时,比赛的局数为,求的分布列与数学期望;
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利,即.
(i)求的取值范围;
(ii)证明数列单调递增,并根据你的理解说明该结论的实际含义.
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2023-05-16更新
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1353次组卷
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6卷引用:重难点突破01 数列的综合应用 (十三大题型)-2
(已下线)重难点突破01 数列的综合应用 (十三大题型)-2(已下线)考点19 概率中的数列 2024届高考数学考点总动员【练】(已下线)第4讲:概率与数列的结合问题【练】(已下线)【一题多变】传球问题 构造数列湖南省长沙市明德中学2023届高三下学期高考仿真模拟考试数学试题湖南省株洲市第一中学2021届高三第三次模拟检测数学试题