1 . 第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该月生产的n辆（）坦克的编号为，，…，，记，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N.
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用估计总体的均值，因此，得，故可用作为N的估计.
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现的无意义结果.例如，当，时，若，，，则，此时.
(1)当，时，求条件概率；
(2)为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值.当，时，求随机变量M的分布列和均值；
(3)丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现与N存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断与N的大小关系，并给出证明.

2 . 七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型.为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型.有数组和数组，规定与相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”.设为时，对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数.
(1)请直接写出的值；
(2)已知.
①对和进行随机配对，记为“正确配对”的个数.请写出的分布列并求；
②试给出的证明.

3 . 数轴上的一个质点从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为，向右移动的概率为，记点移动次后所在的位置对应的实数为.
(1)求和的分布列和期望；
(2)当时，点在哪一个位置的可能性最大，并说明理由.

4 . 杭州亚运会最终确定延期至2023年9月23日至10月8日举行，某校就此热点举办了一场迎亚运知识竞赛，将100人的成绩整理成下表：

分数
	男	女	男	女	男	女	男	女	男	女	男	女
频率/ 组距	0.007	0.003	0.009	0.006	0.018	0.007	0.028	0.007	0.009	0.001	0.003	0.002

(1)从不低于70分的学生中选出1人，如果他是男生，求该学生成绩在80分以上（含80分）的概率；
(2)已知某生成绩低于70分，设该生成绩为，求他的成绩的分布列与期望；
(3)假设表示事件“学校举办亚运知识培训”，表示事件“某学生对亚运知识产生兴趣”，，一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生兴趣的概率会超过不举办培训的概率.证明：.

5 . 某人花了元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率获得b元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响.
(1)求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率；
(2)假设这个人获得门票总张数是，求的分布列及数学期望.

6 . 进入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为p（），且每人是否感染这种病毒相互独立.记100个人中恰有5人感染病毒的概率是，则的最大值点的值为___________；为确保校园安全，某校组织该校的6000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测6000次，但实际上在检测时都是随机地按k（）人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测.如果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次.当p取时，检测次数最少时k的值为___________.
参考数据：，，，，,，，，

7 . 盒子里有3个球，其中2个白球，1个红球.从中随机取球，若取到红球则放回，若取到白球，则不放回，当第2次取到红球时，取球终止.
(1)求恰好取了4次球的概率；
(2)设游戏终止时取出的白球个数为随机变量，求的分布列及期望.

8 . 甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为（）．
(1)若比赛采用五局三胜制，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
(2)若比赛采用三局两胜制，且，则比赛结束时，求甲获胜局数的期望；
(3)结合（1）（2），比较甲在两种赛制中获胜的概率，谈谈赛制对甲获得比赛胜利的影响．

9 . 有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.