3 . 小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求；
(3)记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率，记表示小明在投篮不超过n次的情况下，当他投中2次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n次后，若投中的次数不足2次也不再继续投），证明：.

4 . 数学奥林匹克竞赛是一项传统的智力竞赛项目，旨在通过竞赛选拔优秀人才，促进青少年智力发展，很多优秀的大学在强基计划中都设置了对中学生奥林匹克竞赛成绩的要求，因此各中学学校对此十分重视．某中学通过考试一共选拔出15名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有7名、高二学生有6名、高三学生有2名．
(1)若学校随机从数学奥赛集训队抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率；
(2)现学校欲通过考试对数学奥赛集训队成员进行考核，考试一共3道题，在测试中．3道题中至少答对2道题记作合格．现已知张同学每道试题答对的概率均为，王同学每道试题答对的概率均为，并且每位同学回答每道试题之间互不影响，记X为两名同学在考试过程中合格的人数，求X的分布列和数学期望．

5 . 某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功，其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：
方案一：答题3道，至少有2道答对
方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关，假设甲选择方案一、且答对每一道题的概率是，乙选择方案二，且3道题中只能答对其中两道题．
(1)求甲答对题目数量X的分布列与数学期望；
(2)设甲和乙中通过第一关的人数为，求的分布列；
(3)若丙答对这3道题中每一道题的概率都是，且这3道题是否答对相互之间没有影响，丙选择方案一通过第一关的概率为，选择方案二通过第一关的概率为，直接比较与的大小．

6 . 小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到.小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为，且相互独立.已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司.求：
(1)要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发；
(2)若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；
(3)小李上班路上的平均时长.

7 . 现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的 120 名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：

入住房间的类型	单人间	双人间	三人间
人数	36	60	24

(1)若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这 120 名老年人中随机抽取 10 人，再从这10人中随机抽取4 人进行询问，记随机抽取的4 人中入住单人间的人数为，求的分布列和数学期望.
(2)记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为，否则该组标为.记询问的某组被标为的概率为.
（i）试用含的代数式表示;
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值.

9 . 某批发市场供应的排球中，来自甲厂的占，来自乙厂的占，来自丙厂的占，甲厂生产的排球的合格率为，乙厂生产的排球的合格率为，丙厂生产的排球的合格率为．
(1)若小张到该市场购买1个排球，求购得的排球为合格品的概率．
(2)若小李到该市场批发2个排球回去销售，购买的1个球来自甲厂，1个球来自丙厂，已知来自己甲厂的每个排球售出后可获得纯利润10元，没有售出则每个球将损失5元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率；来自丙厂的每个排球售出后可获得纯利润8元，没有售出则每个球将损失6元，且每个球被售出的概率等于排球的合格率．求小李到该市场批发2个排球进行销售获得的纯利润的数学期望．